题目内容
【题目】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．
【探究证明】
⑴请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(△AOP)是等边三角形；
⑵如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．
图1(n=4) 图2(n=5) 图3(n=6) 图n
【归纳猜想】
⑶图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为_____________，_________；
⑷图n中，“叠弦三角形”_____________等边三角形(填“是”或“不是”)
⑸图n中，“叠弦角”的度数为______________________(用含n的式子表示)
【答案】 15°， 24° 是 
．
【解析】（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD/，最后用旋转角计算即可；
（2）向判断出Rt△AEM≌△Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON即可；
（3）先判断出△AD/O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；
（4）先判断出△APF≌△AE/F/，再用旋转角60°，从而得出△PAO是等边三角形；
（5）用（3）的方法求出正n边形的“叠弦角”的度数.
解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是正方形， 由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，
∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，
∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形，
（2）如图2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．
∵五边形ABCDE是正五边形，
由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°
∴∠EAP=∠E'AO ∴△APE≌△AOE'（ASA）
∴∠OAE'=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AE=AB
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS）， ∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB ∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）．
（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，
∴∠DAP=∠D′AO，
在△AD′O和△ABO中，
AD′=AB，AO=AO，
∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，
由旋转得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，
∴∠D′AD=
∠D′AB=15°，
同理可得，∠E′AO=24°，
故答案为：15°，24°．
（4）如图3，
∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，
由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO ∴∠PAO=∠FAO=60°，
∴△PAO是等边三角形．故答案为：是
（5）图n中的多边形是正（n+3）边形，
同（3）的方法得， 
故答案： 
．
