Question

问题背景: 如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

实践运用： 如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD = 30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，求：PA+ PB的最小值，并写出解答过程．

知识拓展：如图(c)，在菱形ABCD中，AB = 10，∠DAB= 60°，P是对角线AC上一动点，E、F分别是线段AB和BC上的动点，则PE +PF的最小值是     ．（直接写出答案）

Answer 1

实践运用：； 知识拓展：.

试题分析：实践运用：找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；知识拓展：当点E（E′）关于AC对称点E″与P、F（F′）三点共线且与AD垂直时，易求E″F（F′）的长为.
试题解析：实践运用：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A。作直径AC′，连接C′E，
根据垂径定理得弧BD=弧DE.
∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE="30°." ∴∠AOE="90°." ∴∠C′AE=45°.
又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°.
∴∠C′="∠C′AE=45°." ∴C′E=AE=AC′=.
∴AP+BP的最小值是.

知识拓展：如图所示，当点E（E′）关于AC对称点E″与P、F（F′）三点共线且与AD垂直时，PE+PF有最小值．
易证四边形BME″F′为矩形，则BM=E″F′.
在Rt△ABM中，AB=10，∠BAD=60°，∴E″F=BM=AB•sin∠BAD=.