Question

关于x，y的方程x²+xy+2y²=29的整数解（x，y）的组数为（　　）

• A、2组
• B、3组
• C、4组
• D、无穷多组

Answer 1

分析：首先将方程x²+xy+2y²=29看做是关于x的一元二次方程，根据判别式中△≥0，再根据x为整数根，且是完全平方数，确定出y²的取值．解得y值，进一步确定出x的值．

解答：解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x²+yx+（2y²-29）=0．
由于该方程有整数根，则判别式△≥0，且是完全平方数．
由△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0，
解得y²≤

116

7

≈16.57．于是

y2	0	1	4	9	16
△	116	109	88	53	4

显然，只有y²=16时，△=4是完全平方数，符合要求．
当y=4时，原方程为x²+4x+3=0，此时x₁=-1，x₂=-3；
当y=-4时，原方程为x²-4x+3=0，此时x₃=1，x₄=3．
所以，原方程的整数解为

x1=-1 y1=4

x2=-3 y2=4

x3=1 y3=-4

x4=3 y4=-4.

故选C．

点评：本题解题的关键是根据一次方程中根与系数的关系，利用判别式来求解．