Question

如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于点F。

（1）求证：AE=BE
（2）求证：FE是⊙O的切线
（3）若BC=6，FE=4，求FC和AG的长。

Answer 1

（1）连接EC，根据BC为⊙OD 的直径可得CE⊥AB，再由AC=BC根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）连接OE，根据三角形的中位线定理可得OE∥AC，再结合EG⊥AC即可证得OE⊥EF，从而证得结论；（3）CF=2，

试题分析：（1）连接EC，根据BC为⊙OD 的直径可得CE⊥AB，再由AC=BC根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）连接OE，根据三角形的中位线定理可得OE∥AC，再结合EG⊥AC即可证得OE⊥EF，从而证得结论；
（3）由BC=2OE=6可得OE=3，再根据勾股定理可求得OF=5，即得CF=2，由OE∥AC可得△FCG∽△FEO，根据相似三角形的性质可求得CG的长，从而求得结果.
（1）连接EC，

∵BC为⊙OD 的直径，
∴CE⊥AB
又∵AC=BC，
∴AE=BE；
（2）连接OE，
∵点O、E分别是BC、AB的中点，
∴OE∥AC，
∵EG⊥AC， 
∴OE⊥EF
∴FE是⊙O的切线；
（3）∵BC=2OE=6，
∴OE=3
∵FE=4，   
∴OF=5   
∴CF=2
∵OE∥AC，
∴△FCG∽△FEO 
∴ 
又∵AC=BC=6，  
∴.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．