题目内容
如图a、b在平行四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC的平分线AF，BG分别与线段CD两侧的延长线（或线段CD）相交于点F，G，AF与BG相交于点E．
（1）在图a中，求证：AF⊥BG，DF=CG；
（2）在图b中，仍有（1）中的AF⊥BG，DF=CG成立．请解答下面问题：
①若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长；
②是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件，使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由．
（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴AF⊥BG．
∵AD∥BC，∴∠AMB=∠CBG，
又BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∴AB=AM，
又AB∥DC，
∴∠ABM=∠G，又∠AMB=∠GMD，
∴∠G=∠GMD，
∴DM=DG，即△GDM为等腰三角形，
同理可得△NCF为等腰三角形；
∵DF-CD=CG-CD，即DF=CG
（2）解：①由已知可得，AF、BG仍是∠BAD与∠ABC的角平分线，且CF=GD，
∴FD=AD=6，
∴CF=10-6=4=GD，
∴FG=FD-GD=6-4=2．
可得，Rt△EFG∽Rt△EAB，
∴
=
=
，∵BG=4，
∴GE=
，BE=
，则在直角三角形EFG中，根据勾股定理得：EF=
=
，在直角三角形ABE中，根据勾股定理得：AE=
=
，勾股定理可得AF=EF+AE=8
；②AB=2AD，∠A=90°．
若使点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形，
∵AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线，
∴只能使其角为直角，即∠A=90°，
而由（1）、（2）可得，边长则需满足1：2的关系，即AB=2AD．
分析：（1）由平行线的性质及角平分线的性质即可证明结论；
（2）①由平行线的性质可得相似三角形，得出各边的长，进而再求解直角三角形即可；
②根据（1）、（2）的条件，满足点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形即可．
点评：本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形及勾股定理和相似三角形的运用，应熟练掌握．
练习册系列答案
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