题目内容
【题目】在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于E,交直线DC于F。
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),讨论线段DG与BD的数量关系。
【答案】(1)证明见解析;(2)BD=DG.证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据AF平分∠BAD,可得∠BAF=∠DAF,利用四边形ABCD是平行四边形,求证∠CEF=∠F即可;(2)根据∠ABC=90°,G是EF的中点可得△BEG≌△DCG,进而求出△DGB为等腰直角三角形,即可得出答案.
试题解析:(1)证明:如图1,
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,
∴∠CEF=∠F。
∴CE=CF。
(2)如图2,
连接GC、BG,
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD为矩形,
∵AF平分∠BAD,
∴∠DAF=∠BAF=45°,
∵∠DCB=90°,DF∥AB,
∴∠DFA=45°,∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形,
∵G为EF中点,
∴EG=CG=FG,CG⊥EF,
∵△ABE为等腰直角三角形,AB=DC,
∴BE=DC,
∵∠CEF=∠GCF=45°,
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中,
,
∴△BEG≌△DCG(SAS),
∴BG=DG,
∵CG⊥EF,
∴∠DGC+∠DGA=90°,
又∵∠DGC=∠BGA,
∴∠BGE+∠DGE=90°,
∴△DGB为等腰直角三角形,
∴BD=DG.
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