题目内容
【题目】如图,已知⊙O的半径为2,AB为直径,CD为弦,AB与CD交于点M,将弧CD沿着CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA至P,使AP=OA,链接PC。
(1)求CD的长;
(2)求证:PC是⊙O的切线;
(3)点G为弧ADB的中点,在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E,交弧BC于点F(F与B、C不重合)。问GEGF是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由。
【答案】(1)2;(2)证明过程见解析;(3)定值为8.
【解析】
试题分析:(1)连接OC,根据折叠图形的性质得出OM=1,根据勾股定理的性质得出CD的长度;(2)首先根据勾股定理求出PC的长度,然后根据勾股定理的逆定理得出切线;(3)连接GA、AF、GB,根据题意得出△AGE与△FGA相似,从而得出GE·GF=,然后根据等腰直角三角形的性质得出答案.
试题解析:(1)如答图1,连接OC ∵沿CD翻折后,A与O重合 ∴OM=OA=1,CD⊥OA
∵OC=2 ∴CD=2CM=2=2
(2)∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM= 又∵CMP=∠OMC=90° ∴PC==2
∵OC=2,PO=4 ∴ ∴∠PCO=90° ∴PC与☉O相切
(3)GE·GF为定值,理由如下: 如答图2,连接GA、AF、GB ∵G为中点 ∴
∴∠BAG=∠AFG ∵∠AGE=∠FGA ∴△AGE∽△FGA ∴
∴GE·GF= ∵AB为直径,AB=4 ∴∠BAG=∠ABG=45° ∴AG=2 ∴GE·GF==8
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