题目内容
（2013•明溪县质检）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE、BD分别交CD、CE于M、N两．（1）求证：AE=BD；
（2）判断直线MN与AB的位置关系；
（3）若AB=10，当点C在AB上运动时，是否存在一个位置使MN的长最大？若存在请求出此时AC的长以及MN的长．若不存在请说明理由．
分析：（1）根据等边三角形的性质可得DC=AC，EC=BC，∠DCB=∠ACE=120°，然后利用“边角边”证明△DCB和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等求出∠NBC=∠MEC，再求出∠NCB=∠MCE=60°，然后利用“角边角”证明△NCB和△MCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CN=CM，从而求出△CMN是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠NMC=∠ACD=60°，然后利用内错角相等，两直线平行即可证明；
（3）设AC=x，MN=y，根据平行线分线段成比例定理可得
=
，再表示出EC、CN、EN，整理得到y、x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．
（2）根据全等三角形对应角相等求出∠NBC=∠MEC，再求出∠NCB=∠MCE=60°，然后利用“角边角”证明△NCB和△MCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CN=CM，从而求出△CMN是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠NMC=∠ACD=60°，然后利用内错角相等，两直线平行即可证明；
（3）设AC=x，MN=y，根据平行线分线段成比例定理可得
| MN |
| AC |
| EN |
| EC |
解答：（1）证明：∵△ACD和△BCE均为等边三角形，
∴DC=AC，EC=BC，且∠DCB=∠ACE=120°，
∵在△DCB和△ACE中，
，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；
（2）MN∥AB．
理由如下：由（1）可知△DCB≌△ACE，
∴∠NBC=∠MEC，
又∵∠MCE=180°-60°-60°=60°，
∴∠NCB=∠MCE=60°，
∵在△NCB和△MCE中，
，
∴△NCB≌△MCE（ASA），
∴CN=CM，
又∵∠MCE=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN∥AB；
（3）设AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，
∴
=
，
又∵CB=EC=10-x，CN=y，EN=10-x-y，
∴
=
，
整理得，y=-
x2+x，
配方得y=-
（x-5）2+2.5（0＜x＜10），
∴当x=5cm时，线段MN有最大值2.5cm．
∴DC=AC，EC=BC，且∠DCB=∠ACE=120°，
∵在△DCB和△ACE中，
|
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；
（2）MN∥AB．
理由如下：由（1）可知△DCB≌△ACE，
∴∠NBC=∠MEC，
又∵∠MCE=180°-60°-60°=60°，
∴∠NCB=∠MCE=60°，
∵在△NCB和△MCE中，
|
∴△NCB≌△MCE（ASA），
∴CN=CM，
又∵∠MCE=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN∥AB；
（3）设AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，
∴
| MN |
| AC |
| EN |
| EC |
又∵CB=EC=10-x，CN=y，EN=10-x-y，
∴
| y |
| x |
| 10-x-y |
| 10-x |
整理得，y=-
| 1 |
| 10 |
配方得y=-
| 1 |
| 10 |
∴当x=5cm时，线段MN有最大值2.5cm．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，准确识图，找出全等三角形的条件是解题关键．
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