题目内容
【题目】如图,已知直线PT与⊙O相切于点T,直线PO与⊙O相交于A,B两点.
(1)求证:PT2=PAPB;
(2)若PT=TB=,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析。(2).
【解析】
试题分析:(1)连接OT,只要证明△PTA∽△PBT,可得,由此即可解决问题;
(2)首先证明△AOT是等边三角形,根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可;
试题解析:(1)证明:连接OT.
∵PT是⊙O的切线,
∴PT⊥OT,
∴∠PTO=90°,
∴∠PTA+∠OTA=90°,
∵AB是直径,
∴∠ATB=90°,
∴∠TAB+∠B=90°,
∵OT=OA,
∴∠OAT=∠OTA,
∴∠PTA=∠B,∵∠P=∠P,
∴△PTA∽△PBT,
∴,
∴PT2=PAPB.
(2)∵TP=TB=,
∴∠P=∠B=∠PTA,
∵∠TAB=∠P+∠PTA,
∴∠TAB=2∠B,
∵∠TAB+∠B=90°,
∴∠TAB=60°,∠B=30°,
∴tanB=
∴AT=1,
∵OA=OT,∠TAO=60°,
∴△AOT是等边三角形,
∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=.
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