Question

【题目】如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．

（1）求证：PT2=PAPB；

（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析。（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得，由此即可解决问题；

（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可；

试题解析：（1）证明：连接OT．

∵PT是⊙O的切线，

∴PT⊥OT，

∴∠PTO=90°，

∴∠PTA+∠OTA=90°，

∵AB是直径，

∴∠ATB=90°，

∴∠TAB+∠B=90°，

∵OT=OA，

∴∠OAT=∠OTA，

∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，

∴△PTA∽△PBT，

∴，

∴PT2=PAPB．

（2）∵TP=TB=，

∴∠P=∠B=∠PTA，

∵∠TAB=∠P+∠PTA，

∴∠TAB=2∠B，

∵∠TAB+∠B=90°，

∴∠TAB=60°，∠B=30°，

∴tanB=

∴AT=1，

∵OA=OT，∠TAO=60°，

∴△AOT是等边三角形，

∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=.