Question

已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D。

（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E'FG，设P（x，0），△E'FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量算的取值范围。

Answer 1

解：（1）依题意，设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，则， 解得 a=-，b= ∴所求抛物线的解析式为y=-x2+x+4， 由，解得，，∴D（4，0）；
（2）如图（1），过点C作CN⊥x轴于N，过点E、B分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点M 则∠M=∠CNE=90°， 设E（a，0），EB=EC， ∴BM2+EM2=CN2+EN2， ∴（1-a）2+（4-0）2=（2-0）2+（3-a）2， 解得a=-1， ∴E（-1，0）；
（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5， 从而直线BC与x轴的交点为H（5，0），如图（2）， 根据轴对称性可知S△E'FG=S△EFG，当E'点在BC上时，点F是BE的中点， ∵FG∥BC，∴△EFP∽△EBH，可证EP=PH， ∵E（-1，0），H（5，0），∴P（2，0）， （i）如图（3），分别过点B、C作BK⊥ED于K，CJ⊥ED于J， 则S△BCE=S△BEF-S△CEH=1/2EH·（BK-CJ）=6， 当-1<x≤2时， ∵PF∥BC，∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC ∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0）， ∴EP=x+1，EH=6， ∴S=S△E'FG=S△EFG=； （ⅱ）如图（4）， 当2<x≤4时，在x轴上截取一点Q，使得PQ=HP，过点Q作QM∥FG，分别交EB，EC于M，N，可证S=S四边形MNGF，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC， ， ∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0）， ∴EH=6，PQ=PH=5-x，EP=x+1，EQ=6-2（5-x）=2x-4， ∴S△EMN=， 同（i）可得S△EFG=， ∴S=S△EFG-S△EMN=-， 综上：。