Question

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC、AE∥BD．
（1）求证：四边形OAEB是菱形．
（2）当题中的矩形改为菱形时，则四边形0AEB是

 

形；当题中的矩形改为正方形时，则四边形0AEB是

 

形．

Answer 1

分析：（1）根据BE∥AC、AE∥BD，很容易证明四边形OAEB是平行四边形，然后根据有一组邻边相等可证明是菱形．
（2）当四边形ABCD是菱形时，那么AC⊥BD，所以是矩形，当四边形ABCD是正方形时，AC和BD垂直且相等，故四边形OAEB是正方形．

解答：（1）证明：∵BE∥AC即BE∥AO（1分）
AE∥BD即AE∥BO
∴四边形OAEB是平行四边形（2分）
又∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（3分）
AO=

1

2

AC BO=

1

2

BD
∴AO=BO（4分）
∴四边形OAEB是菱形．（5分）

（2）故答案为：矩形；正方形．（7分）

点评：本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，以及正方形的判定和性质定理等知识点．