题目内容

【题目】已知,如图,延长的各边,使得,顺次连接,得到为等边三角形.

求证:(1);(2)为等边三角形.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析

【解析】(1)关键是证出CE=AF,可由AE=ABAC=BF,两两相加可得.再结合已知条件可证出AEF≌△CDE

(2)有(1)中的全等关系,可得出∠AFE=CED,再结合DEF是等边三角形,可知∠DEF=60°,从而得出∠BAC=60°,同理可得∠ACB=60°,那么∠ABC=60°.因而ABC是等边三角形.

证明:(1)∵BF=AC,AB=AE(已知)

FA=EC(等量加等量和相等).

∵△DEF是等边三角形(已知),

EF=DE(等边三角形的性质).

又∵AE=CD(已知),

∴△AEF≌△CDE(SSS).

(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC(对应角相等),

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代换)

DEF是等边三角形(已知),

∴∠DEF=60°(等边三角形的性质),

∴∠BCA=60°(等量代换),

由△AEF≌△CDE,得∠EFA=∠DEC

∵∠DEC+∠FEC=60°

∴∠EFA+∠FEC=60°

又∠BAC是△AEF的外角,

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°

∴△ABC中,AB=BC(等角对等边).

∴△ABC是等边三角形(等边三角形的判定).

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