Question

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。
⑴该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN²=CD²+CN²，在图③中（三角板一边与OC重合），CN²=BN²+CD²，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。

⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。

⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之 间所满足的数量关系（不需要证明）

Answer 1

⑴见解析⑵CM²+CN²=DM²+BN²，理由见解析⑶CM²－CN²+ DM²－BN²=2

⑴选择图①证明：
连结DN
∵矩形ABCD
∴BO=DO ∠DCN=90⁰
∵ON⊥BD
∴NB=ND     
∵∠DCN=90⁰
∴ND²=NC²+CD²   
∴BN²=NC²+CD²   (4分)
注：若选择图③，则连结AN同理可证并类比给分
⑵CM²+CN²=DM²+BN²   理由如下：
延长DO交AB于E
∵矩形ABCD
∴BO=DO ∠ABC=∠DCB=90⁰
AB∥CD
∴∠ABO=∠CDO ∠BEO=∠DMO
∴△BEO≌△DMO 
∴OE=OM   BE=DM
∵MO⊥EM
∴NE=NM         
∵∠ABC=∠DCB=90⁰
∴NE²=BE²+BN²   NM²=CN²+CM²
∴CN²+CM² =BE²+BN²
即CN²+CM² =DM²+BN² (4分)
⑶CM²－CN²+ DM²－BN²=2（2分）
（1）作辅助线，连接DN，在Rt△CDN中，根据勾股定理可得：ND²=NC²+CD²，再根据ON垂直平分BD，可得：BN=DN，从而可证：BN²=NC²+CD²；
（2）作辅助线，延长MO交AB于点E，可证：△BEO≌△DMO，NE=NM，在Rt△BEN和Rt△MCN中，根据勾股定理和对应边相等，可证：CN²+CM²=DM²+BN²；
（3）根据正方形的性质知：OA=OB，∠OAM=∠OBN，∠AOB=∠AOM+∠BOM=90°，∠MON为直角三角板的直角，可知：∠MON=∠BOM+∠BON=90°，可得：∠AOM=∠BON，从而可证：△AOM≌△BON，AM=BN，又AB=BC，可得：BM=CN，在Rt△ADM和△BCM中，根据勾股定理：DM²=AM²+AD²=BN²+AD²，MC2=MB²+BC²=CN²+BC²，故可得：CM²-CN²+DM²-BN²=2．