题目内容

【题目】如图,已知直线y=﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.

(1)求点A、C的坐标;
(2)将△ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式;
(3)在(2)的条件下,坐标平面内是否存在点P(除点B外),使得△APC与△ABC全等?若存在,直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:令y=0,则﹣2x+8=0,解得x=4,
∴A(4,0),
令x=0,则y=8,
∴C(0,8)
(2)解:由折叠可知:CD=AD,
设AD=x,则CD=x,BD=8﹣x,
由题意得,(8﹣x)2+42=x2
解得x=5,
此时AD=5,
∴D(4,5),
设直线CD为y=kx+8,
把D(4,5)代入得5=4k+8,解得k=﹣
∴直线CD的解析式为y=﹣ x+8
(3)解:①当点P与点O重合时,△APC≌△CBA,此时P(0,0)
②当点P在第一象限时,如图1,

由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB,
则点P在直线CD上.过P作PQ⊥AD于点Q,
在Rt△ADP中,
AD=5,AP=BC=4,PD=BD=8﹣5=3,
由AD×PQ=DP×AP得:5PQ=3×4,
∴PQ=
∴xP=4+ = ,把x= 代入y=﹣ x+8得y=
此时P(
③当点P在第二象限时,如图2,

同理可求得:PQ=
在RT△PCQ中,CQ= = =
∴OQ=8﹣ =
此时P(﹣ ),
综上,满足条件的点P有三个,分别为:(0,0),( ),(﹣
【解析】(1)已知直线y=-2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C,即可求得A和C的坐标。
(2)根据题意可知△ACD是等腰三角形,求出AD长即可求得D点坐标,最后即可求出CD的解析式。
(3)将点P在不同象限进行分类,根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形,找出符合题意的点P的坐标。

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