题目内容

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=AD=10，DC=4，动圆⊙O与AD边相切于点M，与AB边相切于点N，过点D作⊙O的切线DP交边CB于点P．
（1）当⊙O与BC相切时（如图1），求CP的长；
（2）当⊙O与BC边没有公共点时，设⊙O的半径为r，求r的取值范围；
（3）若⊙O′是△CDP的内切圆（如图2），试问∠ODO′的大小是否改变？若认为不变，请求出∠ODO′的正切值；若认为改变，请说明理由．

解：（1）设⊙O与BC相切于点Q，与DP相切于点K，
∵⊙O与AD边相切于点M，与AB边相切于点N，
∴DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，
∴DK+PK+AN+BN=DM+PQ+AM+BQ，即DP+AB=BP+AD．
∵AB=AD，
∴DP=BP．
过D作DH⊥AB于H，
∵ABCD为直角梯形，DC∥AB，∠ABC=90°，
∴DH=BC，AH=AB-DC=6，
∵AD=10，
∴BC=8．
设CP=x，则BP=8-x，
则在Rt△DCP中，DC²+CP²=DP²，即16+x²=（8-x）²
∴x=3，即CP=3．

（2）图1中，延长AD、BC交于G，则⊙O为△ABG的内切圆，
∵DH⊥AB，
∴AB：AG=cosA=AH：AD，
∴AG= $\text{[math]}$ ，
∴BG= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
⊙O为△ABD的内切圆，
在Rt△CBD中，DC=4，CB=8，
∴BD= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（3）∠ODO′的大小不变．

∵⊙O与AD、DP相切，
∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，
∴∠ODO′=∠2+∠3= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵在△ABD中，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴∠BDC= $\text{[math]}$ ，
∴tan∠ODO’=tan $\text{[math]}$ =tan∠BDC= $\text{[math]}$ =2．
分析：（1）设⊙O与BC相切于点Q，与DP相切于点K，由题意得DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，则DP+AB=BP+AD，过D作DH⊥AB于H，根据四边形ABCD为直角梯形，得DH=BC，AH=6，设CP=x，则BP=8-x，则在Rt△DCP中，由勾股定理求得x即可；
（2）延长AD、BC交于G，则⊙O为△ABG的内切圆，即可求得AG，BG，再由三角形的面积公式求出圆的半径，即可得出半径的取值范围；
（3）由题意得出∠ODO′= $\text{[math]}$ ，再因为AB∥CD，则∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠BDC，∠BDC= $\text{[math]}$ ，从而求得tan∠ODO′的值．
点评：本题是一道综合性很强的题目，考查了三角形的内切圆和内心、勾股定理、切线长定理、解直角三角形等知识点，难度较大．