Question

问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

实践运用：
如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，求：PA+PB的最小值，并写出解答过程．
知识拓展：
如图（c），在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E、F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是

 

．（直接写出答案）

Answer 1

考点：圆的综合题,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（b）过点B作CD的垂线交CD于E点，交圆O于B₁点，连接AB₁，当P点为AB₁与CD的交点时，AP+BP的值最小，根据勾股定理求出AB₁，即可得出PA+PB的最小值；
（c）当点E（E′）关于AC对称点E″与P、F（F′）三点共线且与AD垂直时，易求E″F（F′）的长为

5

．

解答：实践运用：
（b）如图b，过点B作CD的垂线交CD于E点，交圆O于B₁点，连接AB₁，
当P点为AB₁与CD的交点时，AP+BP的值最小．
过A点作CD的垂线交CD于F点，交圆O于H点，过B₁作AH的垂线交AH于G点．
由垂径定理可知：BP=B₁P；
∵∠ACD=30°，B为弧AD的中点，
∴OE=

3

，OF=1．
∴EF=B₁G=

3

-1，又由于AG=AF+FG=

3

+1，
AB₁²=AG²+B₁G²=(

3

+1)2+(

3

-1)2=8．
∴AB₁=2

2

，即AP+BP的最小值为2

2

．

知识拓展：
（c）如图c所示，当点E（E′）关于AC对称点E″与P、F（F′）三点共线且与AD垂直时，PE+PF有最小值．
过点B作BM⊥AD于点M，
由题意可得：∠BF′E″=∠F′E″M=∠E″MB=90°，
∴四边形BME″F′为矩形，
则BM=E″F′，
在Rt△ABM中，AB=10，∠BAD=60°，
∴E″F=BM=AB•sin∠BAD=5

3

．
故答案为：5

3

．

点评：本题考查了菱形的性质和轴对称-最短路线问题，解题的关键是得到PE+PF的最小值为菱形ABCD中AD边的高．