Question

已知，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图）．
（1）设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图中阴影部分）的面积；
（2）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．

Answer 1

分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．
（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．

解答：解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，
∴S_△PAB=S_△P'CB，
S_阴影=S_扇形BAC-S_扇形BPP′=

π

4

（a²-b²）；

（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，
∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P²=PB²+P'B²=32；
又∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．
PC=

P′P2+P′C2

=6．

点评：本题运用旋转知识，将不规则的阴影部分转化为两个扇形面积差，又利用旋转将线段、角进行转化，达到解题的目的．