Question

如图，直线l与⊙O交于C、D两点，且与半径OA垂直，垂足为H，已知OD=2，∠O=60°，
（1）求CD的长；
（2）在OD的延长线上取一点B，连接AB、AD，若AD=BD，求证：AB是⊙O的切线．

Answer 1

（1）解：∵OA⊥CD，
∴H为CD的中点，即CH=DH，
在Rt△OHD中，∠O=60°，
∴∠ODH=30°，又OD=2，
∴OH=OD=1，
根据勾股定理得：HD==，
则CD=2HD=2；

（2）证明：∵OA=OD，∠O=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴OD=AD，
∴∠OAD=∠ODA，
又AD=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠OAD+∠ODA+∠DAB+∠DBA=2（∠ODA+∠DAB）=180°，
∴∠ODA+∠DAB=90°，即∠OAB=90°，
则AB为圆O的切线．
分析：（1）由OA垂直于CD，利用垂径定理得到H为CD的中点，在直角三角形ODE中，由∠O=60°求出∠ODH=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由OD的长求出OH的长，再利用勾股定理求出HD的长，由CD=2HD即可求出CD的长；
（2）由OA=OD且∠O=60°，得到三角形OAD为等边三角形，可得出AD=OD，利用等边对等角得到一对角相等，再由AD=DB，利用等边对等角得到一对角相等，又这四个角之和为180°，等量代换可得出∠OAB为直角，即OA垂直于AB，即可得到AB为圆O的切线，得证．
点评：此题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，利用了转化及等量代换的数学思想，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于圆的半径．