题目内容

已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC= $数学公式$ ，AD=1，求∠CAD的度数．

解：分两种情况考虑：
①如图（1），连接OC、OD，
在⊙O中，AB=2，
∴OA=OC=OD= $\text{[math]}$ AB=1，
∵1²+1²=（ $\text{[math]}$ ）²，即OA²+OC²=AC²，
∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，
又∵AD=1，
∴OA=OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠CAD=∠OAD-∠OAC=15°；
②如图（2），连接OC，OD，
在⊙O中，AB=2，∴OA=OC=OD= $\text{[math]}$ AB=1，
∵1²+1²=（ $\text{[math]}$ ）²，即OA²+OC²=AC²，
∴∠AOC=90°，∠CAO=45°，
∵AD=1，∴OA=OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠CAD=∠OAD+∠CAO=105°，
综上，∠CAD等于105°或15°．
分析：分两种情况考虑：①如图（1），连接OC、OD，在⊙O中，AB=2，得到半径为1，再利用勾股定理的逆定理得到三角形AOC为等腰直角三角形，再由AD=OA=OC得到三角形AOD为等边三角形，由∠OAD-∠OAC即可求出∠CAD的度数；②如图（2），连接OC，OD，同理由∠OAD+∠OAC即可求出∠CAD的度数．
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．