Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠DBC=∠A
①求证：BD是⊙O的切线；
②若⊙O的半径为4cm，∠CBD=45°，求BC的长．

Answer 1

分析：①如图，连接OB、OC．欲证BD是⊙O的切线，只需证明OB⊥BD．
②结合①知△OBC是等腰直角三角形，所以根据勾股定理即可求得斜边BC的长度．

解答：①证明：如图，连接OB、OC．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
又∵∠BOC=2∠A，∠DBC=∠A，
∴∠BOC=2∠DBC，
∴∠BOC+∠OBC+∠OCB=2∠DBC+2∠OBC=180°，即∠OBC+∠DBC=90°，
∴∠OBD=90°，即OB⊥BD．
∵OB是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线；

②由①知，∠BOC=2∠DBC．
∵∠CBD=45°，
∴∠BOC=90°．
又∵OB=OC=4cm，
∴BC=

2

OB=4

2

cm．即BC的长为4

2

cm．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．