Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；

（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1） y＝﹣x2+2x+8；（2）点P（）；（3）

【解析】

（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，可得：PE＝4AE，设点P坐标（4k﹣2，k），即可求解；

（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得： ，再求出PD的最大值，即可求解．

解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，

解得：a= -1，b=2，c=8，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；

（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），

∴OA＝2，OC＝8，

∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，

∵∠PAE≠∠CAO，

∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，

此时，即：，

∴AE＝4PE，

设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，

∴OE＝4k﹣2，

将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：

k＝0或（舍去0），则点P（）；

（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，

∵l∥y轴，

∴∠PDF＝∠COB，

∴△PFD∽△BOC，

∴，

∴S△PDF＝S△BOC，

而S△BOC＝OBOC＝×4×8=16，

BC＝，

∴S△PDF＝S△BOC＝PD2，

即当PD取得最大值时，S△PDF最大，

将B、C坐标代入一次函数表达式得：

，

解得：，

∴直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，

设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），

则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，

当m＝2时，PD的最大值为4，

故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．