Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，∠GEF=90°．

（1）若∠AGE=50°,求∠DFE的度数；

（2）若AG=2，DF=3，求GF的长；

（3）拓展研究：

如图2，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长．

Answer 1

【答案】（1）∠DFE=40°；（2）GF=5；（3）GF=．

【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得到∠A=∠D=90°，由∠AGE=50°，得到∠GEA的度数．由∠GEF=90°，得到∠FED的度数．再由直角三角形两锐角互余即可得到结论；

（2）延长GE、FD交于点H，可证得△AEG≌△DEH，结合条件可证明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的长；

（3）过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明△AEG≌△DEH，结合条件可得到△HPD为等腰直角三角形，可求得PF的长，在Rt△HFP中，可求得HF，则可求得GF的长．

试题解析：解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∵∠AGE=50°，∴∠GEA=90°－50°=40°．∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FED=90°，∴∠FED=90°－40°=50°．∵∠D=90°，∴∠DFE=90°－50°=40°．

（2）如图2，延长GE、FD交于点H．∵E为AD中点，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°．在△AEG和△DEH中，∵∠A=∠HDE，EA=ED，∠AEG=∠HED，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG=HD=2，EG=EH．∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF．同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3．∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，∴∠HDP=45°，∴△PDH为等腰直角三角形，∴PD=PH=，∴PF=PD+DF==．在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=，PF=，∴HF===，∴GF=．