题目内容
【题目】如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点A1，
（1）分别计算：当∠A分别为700、800时，求∠A1的度数.
（2）根据（1）中的计算结果，写出∠A与∠A1之间的数量关系___________________.
（3）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于点A2，∠A2BC的角平分线与∠A2CD的角平分线交于点A3，如此继续下去可得A4，…，∠An，请写出∠A5与∠A的数量关系_________________.
（4）如图2，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时，有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠D-∠A1的值为定值.
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值.
【答案】（1）∠A1=350 和∠A1=400;（2）∠A=2∠A1;（3）∠A5=
∠A;（4）①的结论是正确的，∠Q+∠A1=1800
【解析】
（1）由三角形的外角性质易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，而∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1，可得∠A1=
（∠ACD-∠ABC）=∠A
（2）根据（1）可得到∠A=2∠A1
（3）根据（1）可得到∠A2=∠A1=
∠A，∠A3=∠A2=
∠A，…依此类推，∠An=
∠A，根据这个规律即可解题.
（4）用三角形的外角性质求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．
解：（1）∵A1C、A1B分别是∠ACD、∠ABC的角平分线
∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD=∠ACD
由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，即：
∠A1=（∠ACD-∠ABC）=∠A；
当∠A=70°时，∠A1=35°；当∠A=80°，∠A1=40°．
（2）由（1）可知∠A1==∠A
即∠A=2∠A1
（3）同（1）可求得：
∠A2=∠A1=∠A，
∠A3=∠A2=∠A，
…
依此类推，∠An=∠A；
当n=5时，∠A5=
∠A=∠A
（4）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；
即：2∠A1=2（180°-∠Q），
化简得：∠A1+∠Q=180°
故①的结论是正确的，且这个定值为180°.
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