Question

【题目】某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），

得 ，

解得 ，

∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，

（2）

解：根据题意，得，

（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，

解得，x1=10，x2=70

∵投入成本最低．

∴x2=70不满足题意，舍去．

∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．

（3）

解：根据题意，得

w=（﹣0.5x+80）（80+x）

=﹣0.5 x2+40 x+6400

=﹣0.5（x﹣40）2+7200

∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值

∴当x=40时，w最大值为7200千克．

∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．

【解析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．