Question

已知：如图1，二次函数y=a（x-1）²-4的图象交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，且OB=3OA．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，M是抛物线的顶点，P是抛物线在B点右侧上一点，Q是对称轴上一点，并且AQ⊥PQ，是否存在这样的点P，使得∠PAQ=∠AMQ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，设（1）中抛物线的顶点为M，R为x轴正半轴上一点，将（1）中抛物线绕R旋转180°得到抛物线C₁：y=-a （x-h）²+k交x轴于D，E两点．若tan∠BME=1，求R点的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意知，抛物线的对称轴：x=1；
设OA=x，则OB=3OA=3x，即：A（-x，0）、B（3x，0）；
由于A、B关于抛物线对称轴对称，所以=1，即x=1，A（-1，0）、B（3，0）；
将B点坐标代入抛物线的解析式中，得：
0=a（3-1）²-4，解得：a=1
∴抛物线的解析式：y=（x-1）²-4=x²-2x-3．

（2）设抛物线对称轴与x轴的交点为G，过P作PH⊥QM于H，如右图；
∵∠AMQ=∠PAQ，∠AGM=∠AQP=90°，
∴△AMG∽△PAQ，得：==，即AQ=2PQ；
∵∠QAG=∠PQH=90°-∠AQG，∠AQP=∠PHQ=90°，
∴△AQG∽△QPH，得：===，即：QH=AG=1，QG=2PH；
设PH=x，QG=2x（x＞0），则：P（x+1，2x-1），代入抛物线的解析式中，得：
（x+1）²-2（x+1）-3=2x-1，化简，得：x²-2x-3=0
解得：x=3（负值舍去）；
∴P（4，5）；
综上，存在符合条件的P点，且坐标为（4，5）．

（3）过E作EQ⊥MB，交MB的延长线于点Q；过M作MP⊥x轴于P，则Rt△MPB∽Rt△EQB，得：
==，即：QE=2BQ；
在Rt△BQE中，tan∠BME=1，则：QM=QE=2QB，即：MB=BQ；
在Rt△MPB中，PM=4，BP=2，则：MB=BQ=BP=2；
在Rt△BQE中，QB=2，QE=2BQ，则：BE=BQ=10，即：E（13，0）；
由题意知，A、E以及B、D都关于点R对称，已知：A（-1，0）、E（13，0），则：
点R的坐标为（6，0）．
分析：（1）若设OA=x，则OB=3x，那么首先用x表达出A、B点的坐标，而这两点关于抛物线对称轴x=1对称，可据此确定这两点的坐标，再任取一点代入抛物线的解析式中即可求出待定系数a的值．
（2）在Rt△AOM和Rt△AQP中，有一组相等的锐角，显然这两个直角三角形是相似的，由A、M的坐标不难看出AO、OM的比例关系，可据此求出PQ、AQ的比例关系；过P作PH⊥QM于H，显然有相似三角形：△PHQ、△AQP，那么也就知道了QH、AQ以及PH、QG的比例关系（设G为抛物线对称轴和x轴的交点），首先设出PH的长，再用这个未知数表示出QG的长，即可表达出P点坐标，再代入抛物线解析式中求解即可．
（3）由于两个抛物线的对称点在x轴上，那么可视作A、E以及B、D都关于点R对称，若求R点的坐标，则必须求出点E的坐标；过E作EQ⊥MB，交MB的延长线于Q，然后过M作MP⊥x轴于P，这样就构建出了相似三角形：△MPB和△EQB，易知MP=2PB，显然有QE=2QB，而tan∠BME=1，即QE=MQ，显然有QE=MQ=2BQ，即MB=BQ，而MB的长容易求得，由此可得出BQ的长，在Rt△BQE中，由勾股定理不难求出BE的长，则E点坐标可得，题目可解．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质以及相似三角形的应用等重要知识点；后两题的难度较大，通过辅助线作出与题目相关的相似三角形是打开解题思路的关键．