Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=

k

x

的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．写出下列五个结论：
①△CEF与△DFE的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④△AOB∽△FOE； ⑤AC=BD．
其中正确结论的个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：设D（x，

k

x

），得出F（x，0），根据三角形的面积求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；根据面积相等，推出边EF上的高相等，推出CD∥EF，可判断②；根据全等三角形的判定判断③即可；根据相似三角形的判定判断④即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，可推出BD=AC，判断⑤即可．

解答：解：①设D（x，

k

x

），则F（x，0），
由图象可知x＜0，k＜0，
∴△DEF的面积是：

1

2

×|

k

x

|×|x|=

1

2

|k|，
设C（a，

k

a

），则E（0，

k

a

），
由图象可知：a＞0，

k

a

＜0，
△CEF的面积是：

1

2

×|a|×|

k

a

|=

1

2

|k|，
∴△CEF的面积=△DEF的面积，
故①正确；
②即△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
故EF∥CD，
故②正确；
③条件不足，无法证出两三角形全等的条件，故③错误；
④∵EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故④正确；
⑤∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故⑤正确；
正确的有4个．
故选C．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定，检查同学们综合运用定理进行推理的能力，关键是需要同学们牢固掌握课本知识．