题目内容
如图，已知正方形OABC的边长为4，⊙M是以OC为直径的圆，现以O为原点，边OA、OC所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使点B落在第四象限，一条抛物线y=ax2+bx经过O、C两点，并将抛物线的顶点记作P．（1）求证：4a+b=0；
（2）当点P同时在⊙M和正方形OABC的内部时，求a的取值范围；
（3）过A点作直线AD切⊙M于点D，交BC于点E．
①求E点的坐标；
②如果抛物线与直线y=x-4只有一个公共点，请你判断四边形CMPE的形状，并说明理由．
【答案】分析：（1）由正方形OABC的边长为4，抛物线y=ax2+bx经过O、C两点，可求出抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的解析式即可求出a、b的关系．
（2）由（1）中所求抛物线的解析式及a，b的关系可用a表示出P点的纵坐标，由圆的半径为2，可知P点纵坐标的取值范围即可求出a的取值范围．
（3）①由切线长定理可知OA=AD，DE=CE，在Rt△ABE中由勾股定理可求出CE的长，进而求出点E的坐标．
②由直线y=x-4只有一个公共点可解直线与抛物线组成的方程组，根据△=0可求出a的值，根据a的值求出P点坐标，根据C，M，P，E四点的作标即可判断出四边形的形状．
解答：解：
（1）∵对称轴为直线x=2，
∴b=-4a，
∴4a+b=0；
（2）y=ax2-4ax，P（2，-4a），
∴-2＜-4a＜0，
∴0＜a＜
．
（3）①设CE=x，Rt△ABE中：42+（4-x）2=（4+x）2，
∴x=1，
∴x=1，
∴E（4，-1）
②只有一个公共点可知，
，
即ax2-（4a+1）x+4=0，△=16a2-8a+1=0，
解得a=
，
故P点坐标为（2，-1），
故PE∥MC，PE=|2-4|=2，MC=|2-4|=2，∠MCE是直角，
∴四边形CMPE为矩形．
点评：本题考查了抛物线、圆、勾股定理的综合应用，具有一定的区分度，但题中对二次函数、圆的知识的考查要求较低，只是将其作为一个载体，讲评时应注意：（1）要知道与抛物线的对称轴有关；（2）实际上只需说明顶点纵坐标小于0而大于-4即可；（3）的难度大，需用切长定理说明AD=AO=AB=4，CE=CD，再根据勾股定理列方程进行求解．
（2）由（1）中所求抛物线的解析式及a，b的关系可用a表示出P点的纵坐标，由圆的半径为2，可知P点纵坐标的取值范围即可求出a的取值范围．
（3）①由切线长定理可知OA=AD，DE=CE，在Rt△ABE中由勾股定理可求出CE的长，进而求出点E的坐标．
②由直线y=x-4只有一个公共点可解直线与抛物线组成的方程组，根据△=0可求出a的值，根据a的值求出P点坐标，根据C，M，P，E四点的作标即可判断出四边形的形状．
解答：解：
（1）∵对称轴为直线x=2，
∴b=-4a，
∴4a+b=0；
（2）y=ax2-4ax，P（2，-4a），
∴-2＜-4a＜0，
∴0＜a＜
．（3）①设CE=x，Rt△ABE中：42+（4-x）2=（4+x）2，
∴x=1，
∴x=1，
∴E（4，-1）
②只有一个公共点可知，
，即ax2-（4a+1）x+4=0，△=16a2-8a+1=0，
解得a=
，故P点坐标为（2，-1），
故PE∥MC，PE=|2-4|=2，MC=|2-4|=2，∠MCE是直角，
∴四边形CMPE为矩形．
点评：本题考查了抛物线、圆、勾股定理的综合应用，具有一定的区分度，但题中对二次函数、圆的知识的考查要求较低，只是将其作为一个载体，讲评时应注意：（1）要知道与抛物线的对称轴有关；（2）实际上只需说明顶点纵坐标小于0而大于-4即可；（3）的难度大，需用切长定理说明AD=AO=AB=4，CE=CD，再根据勾股定理列方程进行求解．
练习册系列答案
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立平面直角坐标系，使点B落在第四象限，一条抛物线y=ax2+bx经过O、C两点，并将抛物线的顶点记作P．
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