题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证： 
；
（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
【答案】（1）证明见解析；（2）当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20；（3）
【解析】试题分析：（1）本题利用相似三角形的性质——相似三角形的对应边上的高之比等于相似比解决；（2）根据第一问的结论，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值；（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5，EQ=4；易证得△CPF是等腰Rt△，则PC=PF=4，QC=QP+PC=9；
一、P、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4），运动的时间为4s；
二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为9-4=5，运动的时间为5s；
三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9），运动的时间为9s；
所以本题要分三种情况，分别写出解析式即可.
试题解析：
（1）∵ 四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP．∴ △AEF∽△ABC．
又∵ AD⊥BC，
∴ AH⊥EF,∴
（2）由（1）得
，∴ AH＝
x．
∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－
x，
∴ S矩形EFPQ＝EF·EQ＝x (8－
x) ＝－
x2＋8 x＝－
（x－5）2＋20．
∵ －
＜0， ∴ 当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．
（3）如图1，由（2）
得EF＝5，EQ＝4．
∵∠C＝45°，∴ △FPC是等腰直角三角形．
∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．
分三种情况讨论：① 如图2．当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形,
∴ FN＝MF＝t．
∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－
t2＝－
t2＋20；
②如图3，当4≤t<5时，则ME＝5－t，QC＝9－t．
∴ S＝S梯形EMCQ＝
[（5－t）＋（9－t ）]×4＝－4t＋28；
③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t．
∴ S＝S△KQC=
(9－t)2＝
( t－9)2．
综上所述：S与t的函数关系式为：
