题目内容

【题目】如图,抛物线与坐标轴分别交于ABC,Dx轴上,AC=CD,过点DDEx轴交抛物线于点E,点PQ分别是线段COCD上的动点,且CP=QD.记APC的面积为S1PCQ的面积为S2QED的面积为S3

1)若S1+S3=4S2 ,求Q点坐标;

2)连结AQ,求AP+AQ的最小值;

【答案】12

【解析】

1)先求出A,C的坐标,作QNOD,根据等腰三角形的性质得出D30),进而求得E35),根据勾股定理求得CD5,设PCQDx,由△NQC∽△ODC的性质得出NQ,根据S1+S3=4S2,列出关于x的方程,即可求得x的值,进而求得NQON,就求得Q点的坐标;

2)连接AE,先证明△ACP≌△EQD,则APEQ,所以APAQEQAQ,利用三角形三边的关系得到EQAQAE(当且仅当点AQE共线时取等号),然后计算出AE即可.

1)令=0

解得x1=-3,x2=8

A-30),B80

x=0,得y=4

C04),

ACCDCOAD

ODOA3

D30),

E点的横坐标为3

x3代入得,y5

E35),

OD3OC4

CD5

PCQDx

QNOD,交OCN

∴△NQC∽△ODC

,即

NQ

S1S34S2

x3×5[3]4x

解得x

QD

p>CQ5

NQCN2

ON422

Q2);

2)连接AE

ACCDCOAD

OC平分∠ACD

∴∠ACO=∠DCO

EDOC

∴∠DCO=∠CDE

DECDAC5CPQD

∴△ACP≌△EDQ

APEQ

APAQEQAQ

EQAQAE(当且仅当点AQE共线时取等号),

EQAQ的最小值=

AQAP的最小值为

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