题目内容
如图,Rt△ABO在直角坐标系中,∠ABO=90°,点A(-25,0),∠A的正切值为4 | 3 |
(1)求点B的坐标;
(2)将△ABO绕点O顺时针旋转,使点B落在x轴正半轴上的B′处.试在直角坐标系中画出旋转后的△A′B′O,并写出点A′的坐标;
(3)在直线OA′上是否存在点D,使△COD与△AOB相似?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)过点B作BH⊥AO于H,由tgA=
,设BH=4k,AH=3k,则AB=5k,在Rt△ABO中由tgA=
,AO=25即可求出AB、BH、AH及OH的长,进而可得出B点坐标;
(2)由图形旋转的性质画出△A′B′C′,由OB′A′B′的长即可求出A′点的坐标;
(3)在Rt△AOC中,由AO=25,tgA=
可求出OC的长,设OA′的解析式为y=kx,由A′点的坐标即可求出k的值,由图形旋转的性质可得出在直线OA′上存在点D符合条件,设点D的坐标为(x,
x),则OD=
x,分别根据△COD∽△AOB、△COD∽△AOB求出x的值,进而可得出D点坐标.
4 |
3 |
4 |
3 |
(2)由图形旋转的性质画出△A′B′C′,由OB′A′B′的长即可求出A′点的坐标;
(3)在Rt△AOC中,由AO=25,tgA=
4 |
3 |
3 |
4 |
5 |
4 |
解答:解:(1)过点B作BH⊥AO于H,由tgA=
,设BH=4k,AH=3k,则AB=5k
在Rt△ABO中,
∵tgA=
,AO=25,
∴AB=15(1分)
∴k=3,
∴BH=12(1分),AH=9,
∴OH=16(1分)
∴B(-16,12)(1分)
(2)正确画图(2分)
A′(20,15)(2分)
(3)在Rt△AOC中,AO=25,tgA=
,
∴OC=
(1分)
设OA′的解析式为y=kx,则15=20k,则k=
,
∴y=
x(1分)
∵△ABO旋转至△A′B′O,
∴∠AOB=∠A′OB′,
∵∠AOB+∠A=90°,∠COA′+∠A′OB′=90°,
∴∠A=∠COA′
∴在直线OA′上存在点D符合条件,设点D的坐标为(x,
x),则OD=
x
1°当
=
即
=
,也即x=16时,△COD与△AOB相似,
此时D(16,12)(2分)
2°当
=
即
=
,也即x=
时,△COD与△AOB相似,
此时D(
,
)(2分)
4 |
3 |
在Rt△ABO中,
∵tgA=
4 |
3 |
∴AB=15(1分)
∴k=3,
∴BH=12(1分),AH=9,
∴OH=16(1分)
∴B(-16,12)(1分)
(2)正确画图(2分)
A′(20,15)(2分)
(3)在Rt△AOC中,AO=25,tgA=
4 |
3 |
∴OC=
100 |
3 |
设OA′的解析式为y=kx,则15=20k,则k=
3 |
4 |
∴y=
3 |
4 |
∵△ABO旋转至△A′B′O,
∴∠AOB=∠A′OB′,
∵∠AOB+∠A=90°,∠COA′+∠A′OB′=90°,
∴∠A=∠COA′
∴在直线OA′上存在点D符合条件,设点D的坐标为(x,
3 |
4 |
5 |
4 |
1°当
CO |
OD |
AO |
AB |
| ||
|
25 |
15 |
此时D(16,12)(2分)
2°当
CO |
OD |
AB |
AO |
| ||
|
15 |
25 |
400 |
9 |
此时D(
400 |
9 |
100 |
3 |
点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,涉及到坐标与图形的性质、图形旋转的性质及解直角三角形,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
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