题目内容

已知A（m，2）是直线L和双曲线 $数学公式$ 的交点．　
（1）求m的值．
（2）若直线L分别和x轴、y轴交于E、F两点，且了A是△EOF的外心，试确定直线L的解析式．
（3）在双曲线 $数学公式$ 上另取一点B，过B作PK⊥x轴于K，试问：在y轴上是否存在点P，使得S_△PAF=S_△BOK？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把A（m，2）代入 $\text{[math]}$ 得2m=3，解得m= $\text{[math]}$ ；

（2）∵△OEF为直角三角形，点A是△EOF的外心，
∴点A（ $\text{[math]}$ ，3）为EF的中点，
∴M点坐标为（3，0），F点坐标为（0，6），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把M（3，0），F（0，6）代入得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线l的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+6；

（3）存在．理由如下：
连结OA，设P（0，t），
∵S_△PAF=S_△BOK= $\text{[math]}$ ×3= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ |t|• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴t=±2，
∴满足条件的P点坐标为（0，2）或（0，-2）．
分析：（1）直接把A点坐标代入 $\text{[math]}$ 可计算出m；
（2）由于△OEF为直角三角形，点A是△EOF的外心，根据直角三角形外心为斜边的中点得到点A（ $\text{[math]}$ ，3）为EF的中点，再根据线段中点的坐标公式得到M点坐标为（3，0），F点坐标为（0，6），然后利用待定系数法确定l的解析式；
（2）根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S_△PAF=S_△BOK= $\text{[math]}$ ×3= $\text{[math]}$ ，设P（0，t），利用三角形面积公式得到 $\text{[math]}$ |t|• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，然后求出t即可得到P点坐标．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数的比例系数的几何意义．