Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AD=4，CE平分∠ACB交AD于点E．以线段CE为弦作⊙O，且圆心O落在AC上，⊙O交AC于点F，交BC于点G．
（1）求证：AD与⊙O的相切；
（2）若点G为CD的中点，求⊙O的半径；
（3）判断点E能否为AD的中点，若能则求出BC的长，若不能请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OE，

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠OCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠OCE=∠DCE，

∴∠OEC=∠DCE，

∴OE∥BC，

∵AD⊥BC，

∴OE⊥AD，

∴AD与⊙O的相切

（2）连接OG，过O作OH⊥CD于H，

∴OH∥AD，

∵OG=OC，

∴∠OGC=∠OCG，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠OGC，

∴OG∥AB，

∵ ，

∵点G为CD的中点，

∴CG= CD= BC，

∴ ，

∴OH∥AD，

∴△COH∽△CAD，

∴ = ，

∴OH=1，

∴DE=OH=1，

∵AD与⊙O的相切，

∴DE2=DGCD=2DG2，

∴DG= ，

∴CD= ，

∵OE∥CD，

∴△AOE∽△ADC，

∴ ，

∴OE= ，

∴⊙O的半径是

（3）点E不能为AD的中点，

假设点E能为AD的中点，

∵OE∥CD，

∴AO=OC，

∴AC为⊙O的直径，OE= = CD，

∵CD=BD，AB=AC，

∴AB+AC=BC，即△ABC不存在，

故点E不能为AD的中点

【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠OEC=∠OCE，由角平分线的定义得到∠OCE=∠DCE，等量代换得到∠OEC=∠DCE，得到OE∥BC，根据平行线的性质得到OE⊥AD，即可得到结论；（2）由等腰三角形的性质得到∠OGC=∠OCG，∠B=∠ACB，推出OG∥AB，根据平行线分线段成比例定理得到 ，得到 ，根据相似三角形的性质得到 = ，得到DE=OH=1，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．（3）假设点E能为AD的中点，根据三角形的中位线的性质得到AO=OC，推出OE= = CD，得到AB+AC=BC，即△ABC不存在，于是得到结论．