Question

如图1，已知?ABCD的周长为6，AB=1，对角线AC与BD相交于点O．
（1）求这个平行四边形其余各边的长；
（2）若AB⊥AC，求OC的长；
（3）将射线OA绕点O顺时针旋转，交AD于E（如图2），当旋转角度为多少度时，CA平分∠BCE．说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形对边相等的性质可得出AB=CD，再由?ABCD的周长为6，可求出各边的长度．
（2）根据（1）所求的结果，利用勾股定理可求出AC，继而可得出OC的长度．
（3）要证CA平分∠BCE，需证∠ACB=∠ECA．要证∠ACB=∠ECA，先根据题意，证明∠ACB=∠EAC，∠EAC=∠ECA，由等量代换得证∠ACB=∠ECA．

解答：解：（1）由题意得，AB=CD=1，
又∵?ABCD的周长为6，
∴AD=BC=2．

（2）∵AB=1，BC=2，
∴AC=

BC2-AB2

=

3

，
∴OC=

3

2

．

（3）当旋转角度为90°时，CA平分∠BCE．
证明：∵OE⊥AC，且AO=CO，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ECA，即CA平分∠BCE．

点评：本题考查了平行四边形的性质，运用平行线的性质和旋转的性质求平行四边形各边的长，有一定的难度，注意熟练掌握平行四边形的性质．