题目内容
已知抛物线
与x轴相交于不同的两点A(
,0),B(
,0),(B在A的右边)又抛物线与y轴相交于C点,且满足
,




(1)求证:4p+5q=0;
(2)问是否存在一个⊙O',使它经过A、B两点且与y轴相切于C点,若存在,试确定此时抛物线的解析式及圆心O'的坐标,若不存在,请说明理由。
(2)问是否存在一个⊙O',使它经过A、B两点且与y轴相切于C点,若存在,试确定此时抛物线的解析式及圆心O'的坐标,若不存在,请说明理由。
解:(1)∵抛物线
与x轴交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),且(x1<x2),
∴

由④:
,∴
,
∴-4p=5q,即4p+5q=0。
(2)设抛物线与y轴交于C(0,x3),
∴x3=q,
∵ ⊙O′经过A(x1,0),B(x2,0)且与y轴相切于C点,
a、当x1<0,x2<0时,
∴
,∴
,解得:p=-
,q=2,
∴抛物线
,对称轴x=
,
∴⊙O′的圆心:(
,2)。
b、当A、B在原点两侧时⊙经过A、B且与y轴相切不可能,
∴⊙O′不存在。
综上所述:当p=-
,q=2时,此时抛物线为:
,⊙O′的圆心O′为(
,2)。

∴


由④:


∴-4p=5q,即4p+5q=0。
(2)设抛物线与y轴交于C(0,x3),
∴x3=q,
∵ ⊙O′经过A(x1,0),B(x2,0)且与y轴相切于C点,
a、当x1<0,x2<0时,
∴



∴抛物线


∴⊙O′的圆心:(

b、当A、B在原点两侧时⊙经过A、B且与y轴相切不可能,
∴⊙O′不存在。
综上所述:当p=-




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