题目内容
【题目】如图1,已知在平面直角坐标系中,四边形
是矩形点
分别在
轴和
轴的正半轴上,连结
,
,
,
是
的中点.
(1)求OC的长和点的坐标;
(2)如图2,是线段
上的点,
,点
是线段
上的一个动点,经过
三点的抛物线交
轴的正半轴于点
,连结
交
于点
①将沿
所在的直线翻折,若点
恰好落在
上,求此时
的长和点
的坐标;
②以线段为边,在
所在直线的右上方作等边
,当动点
从点
运动到点
时,点
也随之运动,请直接写出点
运动路径的长.
【答案】(1) OC=,点
的坐标为
;(2) ①点
的坐标为
,②
.
【解析】
(1)由OA=3,tan∠OAC=,得OC=
,由四边形OABC是矩形,得BC=OA=3,所以CD=
BC=
,求得D(
);
(2)①由易知得ACB=∠OAC=30°,设将△DBF沿DE所在的直线翻折后,点B恰好落在AC上的B'处,则DB'=DB=DC,∠BDF=∠B'DF,所以∠BDB'=60°,∠BDF=∠B'DF=30°,所以BF=BDtan30°=,AF=BF=
,因为∠BFD=∠AEF,所以∠B=∠FAE=90°,因此△BFD≌△AFE,AE=BD=
,点E的坐标(
,0);
②动点P在点O时,求得此时抛物线解析式为y=,因此E(
,0),直线DE:
,F1(3,
);当动点P从点O运动到点M时,求得此时抛物线解析式为
,所以E(6,0),直线DE:
,所以F2(3,);所以点F运动路径的长为
,即G运动路径的长为
.
(1) ∵,
∴.
∵四边形是矩形,
∴.
∵是
的中点,
∴,
∴点的坐标为
.
(2) ①∵,
∴,
∴.
设将翻折后,点
落在
上的
处,
则,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∵,
∴.
∴.
∴,∴点
的坐标为
.
②动点P在点O时,
∵抛物线过点P(0,0)、
求得此时抛物线解析式为y=
∴E(,0),
∴直线DE: ,
∴F1(3,);
当动点P从点O运动到点M时,
∵抛物线过点
求得此时抛物线解析式为,
∴E(6,0),
∴直线DE:y=-
∴F2(3,)
∴点F运动路径的长为,
∵△DFG为等边三角形,
∴G运动路径的长为
