Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5米，AC＝12米.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.

（1）当t为何值时，∠AMN＝∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值.

Answer 1

（1）t为4秒  （2）t＝6秒时，S最大值＝m²

解析解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.
∴AM＝12－t，AN＝2t，
∵∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，从而12－t＝2t，
解得：t＝4秒，
∴当t为4秒时，∠AMN＝∠ANM.
（2）如图，作NH⊥AC于H，

∴∠NHA＝∠C＝90°，
∴NH∥BC，
∴△NHA∽△BCA，
∴＝，
即：＝，∴NH＝t，
从而有S_△AMN＝（12－t）·t＝－t²＋t，
∴当t＝6秒时，S最大值＝m².