题目内容

如图,点F为正方形内一点,在正方形外有一点E,满足∠ABF=∠CBE,BF=BE.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)连接EF,试判断△BEF的形状,并证明你的结论.
(3)当CF:BF=1:2,∠BFC=135°时,求cos∠FCE的值.

(1)证明:∵正方形ABCD,
∴AB=BC,
∵∠ABF=∠CBE,BF=BE,
∴△ABF≌△CBE(SAS).

(2)解:△BEF的形状是等腰直角三角形,
证明:∵△ABF≌△CBE,
∴BF=BE,
∵正方形ABCD,
∴∠ABC=90°,
即∠ABF+∠FBC=90°,
∵∠ABF=∠CBE,
∴∠FBC+∠CBE=90°,
即∠FBE=90°,
∴△BEF是等腰直角三角形.

(3)解:设CF=a,BF=2a,
∵△BEF是等腰直角三角形,
∴BE=BF,
∴∠BFE=∠BEF=45°,
∵∠BFC=135°,
∴∠CFE=90°,
由勾股定理得:CE==3a,
∴cos∠FCE===
答:cos∠FCE的值是
分析:(1)根据正方形性质推出AB=BC,根据SAS证出即可;
(2)根据全等三角形性质推出BE=BF,根据正方形性质推出∠ABF+∠FBC=90°,证∠FBC+∠CBE=90°即可;
(3)根据等腰直角三角形性质推出∠BFE=45°,推出∠CFE=90°,设CF=a,BF=2a,求出CE=3a,根据锐角三角函数求出即可.
点评:本题主要考查对锐角三角函数的定义,正方形的性质,全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形的性质和判定,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
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