Question

如图，点P为正方形内一点，若PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．

Answer 1

分析：设PA=1，则PB=2，PC=3，根据正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，所以把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BEA，然后根据旋转的性质得BE=BP=2，EA=PC=3，∠PBE=∠CBA=90°，则△PBE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠BPE=45°，PE=

2

PB=2

2

，在△APE中，由于PA²+PE²=AE²，根据勾股定理的逆定理得到△AEP为直角三角形，∠APE=90°，然后利用∠APB=∠APE+∠BPE计算即可．

解答：解：设PA=1，则PB=2，PC=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BEA，如图，
∴BE=BP=2，EA=PC=3，∠PBE=∠CBA=90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，PE=

2

PB=2

2

，
在△APE中，PA=1，PE=2

2

，AE=3，
∵1²+（2

2

）²=3²，
∴PA²+PE²=AE²，
∴△AEP为直角三角形，∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理的逆定理．