Question

如图，已知一次函数y=-

3

4

x+3的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD与△AOB相似并直接写出此时点C的坐标；
（3）△ACD的面积是否有最大值？若有，此时t为何值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先容易求出A，B两点的坐标，然后求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分别表示AC，AD的长度，再根据相似的性质可以列出关于t的方程，解方程就可以求出点C的坐标；
（3）用t表示△ACD的面积，然后利用二次函数求最大值．

解答：解：（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

32+42

=5；

（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO，
∴

AC

AB

=

AD

AO

，
代入得：

5-t

5

=

t

4

，
解得：t=

20

9

，
若△ACD∽△AOB，

AD

AB

=

AC

AO

，

t

5

=

5-t

4

，
解得t=

25

9

，
故C（

25

9

，

11

12

）或（

20

9

，

4

3

）；

（3）∵AC=5-t，AD=t，而sinA=

OB

AB

=

3

5

，
∴AD边上的高=

3

5

（5-t），
∴S_△ACD=

1

2

×AD×

3

5

（5-t）=

3

10

（5t-t²），
∴S_△ACD有最大值，此时t=2.5，
∵S_△ACD=

3

10

（5t-t²）=-

3

10

（t-2.5）²+

15

8

，
∴当t=2.5时，S_△ACD有最大值．

点评：此题既考查了勾股定理的计算，也考查了相似三角形的性质，还有利用二次函数求最大值．