Question

（2004•济宁）已知抛物线y=x²-（2m-1）x+4m-6．
（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₁＜x₂）分别在原点的两侧，且A、B两点间的距离小于6，求m的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与是等弧？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）将抛物线的解析式化为交点式，可求得抛物线与x轴的交点其中一个是定值，不随m的变化而变化；
（2）本题可从两个方面考虑：①AB的距离小于6，可用韦达定理求出一个m的取值范围，
②由于A、B分别在原点两侧，因此根据韦达定理有x₁x₂＜0，据此可求出另外一个m的取值范围．综合两种情况即可得出所求的m的取值范围；
（3）本题要先画出图形，分抛物线对称轴在y轴左侧和右侧两种情况进行求解．解题思路一致．假设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E，都是通过在直角三角形ACD和MEB（或MEA）中分别表示出OD和ME的长，根据OD=ME来列等量关系求出t的值．
解答：解：（1）由题意可知：y=（x-2）（x-2m+3），
因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：
（2，0）（2m-3，0），
因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；

（2）令y=0，有：x²-（2m-1）x+4m-6=0，则：
x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=4m-6；
∵AB＜6
∴x₂-x₁＜6，
即（x₂-x₁）²＜36，（x₁+x₂）²-4x₁x₂＜36，
即（2m-1）²-4（4m-6）＜36，
解得-＜x＜．①
根据A、B分别在原点两侧可知：x₁x₂＜0，
即4m-6＜0，m＜．②
综合①②可得-＜m＜；

（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．
①当C点在x正半轴时，x=＞0，
因此＜m＜，
∵弧BC=弧CD，
因此BC=CD．
OC=，CD=BC=OB-OC=2-=，EC=BC=，
OE=MD=OC+CE=+=．
易知：OD=ME，即OD²=ME²
∴CD²-OC²=CM²-CE²，
（）²-（）²=（）²-（）²；
解得m=，符合m的取值范围．
②当C点在x负半轴时，x=＜0，
因此-＜m＜，
同①可求得OC=，CD=AC=，CE=，MD=OE=．
同理有：CD²-OC²=MC²-CE²
（）²-（）²=（）²-（）²
化简得：m²=，
∴m=±，均不符合m的取值范围，
因此这种情况不成立．
综上所述，存在符合条件的m，且m=．
点评：本题结合圆和一元二次方程的相关知识考查了二次函数的综合应用，难度较大．