题目内容

【题目】如图,已知RtABC中,ACB90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形的对角线交于点O,连结OC.已知AC5OC6,则另一直角边BC的长为

【答案】4

【解析】试题分析:过OOF垂直于BC,再过AAM垂直于OF,由四边形ABDE为正方形,得到OA=OBAOB为直角,可得出两个角互余,再由AM垂直于MO,得到AOM为直角三角形,其两个锐角互余,利用同角的余角相等可得出一对角相等,再由一对直角相等,OA=OB,利用AAS可得出AOMBOF全等,由全等三角形的对应边相等可得出AM=OFOM=FB,由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形,根据矩形的对边相等可得出AC=MFAM=CF,等量代换可得出CF=OF,即COF为等腰直角三角形,由斜边OC的长,利用勾股定理求出OFCF的长,根据OF﹣MF求出OM的长,即为FB的长,由CF+FB即可求出BC的长.解法一:如图1所示,过OOFBC,过AAMOF四边形ABDE为正方形,∴∠AOB=90°OA=OB∴∠AOM+BOF=90°,又AMO=90°∴∠AOM+OAM=90°∴∠BOF=OAM,在AOMBOF中, ∴△AOM≌△BOFAAS),AM=OFOM=FB,又ACB=AMF=CFM=90°四边形ACFM为矩形,AM=CFAC=MF=5OF=CF∴△OCF为等腰直角三角形,OC=6根据勾股定理得:CF2+OF2=OC2,解得:CF=OF=6FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1,则BC=CF+BF=6+1=7.故答案为:7.解法二:如图2所示,过点OOMCA,交CA的延长线于点M;过点OONBC于点N.易证OMA≌△ONBOM=ONMA=NBO点在ACB的平分线上,∴△OCM为等腰直角三角形.OC=6CM=ON=6MA=CM﹣AC=6﹣5=1BC=CN+NB=6+1=7.故答案为:7

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