题目内容

如图,菱形ABCD中,AB=5,∠BAD=60°,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PM+PB的最小值等于
5
2
3
5
2
3
分析:先连接BD,因为四边形ABCD是菱形且∠BAD=60°,所以△ABD是等边三角形,由于菱形的对角线互相垂直平分,所以点D是点B关于AC的对称点,AD=BD,连接MD,由等边三角形的性质可知DM⊥AB,再根据勾股定理即可求出BD的长.
解答:解:先连接BD,交AC于点P′,连接DM,BE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD,BE=DE,
∵∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,点D是点B关于AC的对称点,则BP′=DP′,
∴当P于P′重合时PM+PB的值最小,最小值为MD,
∵M是AB的中点,△ABD是等边三角形,
∴DM⊥AB,
∵AD=5,AM=
5
2

∴DM=
AD2-AM2
=
52-(
5
2
)2
=
5
2
3

故答案为:
5
2
3
点评:本题考查的是最短线路问题及菱形的性质,由菱形的性质得出点D是点B关于AC的对称点是解答此题的关键.
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