Question

已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A、B的坐标；

（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；

（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 解：（1）由y=0得，ax²-2ax-3a=0，

∵a≠0，

∴x²-2x-3=0，

解得x₁=-1，x₂=3，

∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；

（2）由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，

∴C（0，-3a），

又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，

得D（1，-4a），

∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，

∴-a=1，

∴a=-1，

∴C（0，3），D（1，4），

设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得， ，

解得 ，

∴直线CD的解析式为y=x+3；

（3）存在．

由（2）得，E（-3，0），N（- ，0）

∴F（ ， ），EN= ，

作MQ⊥CD于Q，

设存在满足条件的点M（ ，m），则FM= -m，

EF= = ，MQ=OM=

由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，

∴ = ，

整理得4m²+36m-63=0，

∴m²+9m= ，

m²+9m+ = +

（m+ ）²=

m+ =±

∴m₁= ，m₂=- ，

∴点M的坐标为M₁（ ， ），M₂（ ，- ）．