Question

如图，有一等腰梯形纸片ABCD，AD∥BC，AB=CD，沿对角线AC将△ACD折叠，点D恰好落在BC边上的中点E处，则上底AD与对角线AC之间满足的等量关系应是

 

．

Answer 1

分析：由折叠的性质可得AD=AE，CD=CE，∠ECA=∠DCA，∠EAC=∠DAC，又由AD∥BC，易证得△AEC与△ADC是等腰三角形，即可得AE=EC=CD=AD，又由AB=CD，可得△ABE是等边三角形，继而求得△ABC是直角三角形，然后由三角函数的性质，即可求得上底AD与对角线AC之间的等量关系．

解答：解：根据折叠的性质：AD=AE，CD=CE，∠ECA=∠DCA，∠EAC=∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACE，
∴∠DAC=∠EAC=∠ECA=∠DCA，
∴AE=EC，AD=CD，
∴AE=EC=CD=AD，
∵E是BC边的中点，
∴BE=CE，
∵AB=CD，
∴AB=AE=BE=AD=CD，
∴∠B=∠BAE=∠AEB=60°，
∵∠AEB=∠EAC+∠ECA，
∴∠EAC=30°，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠BCA=tan30°=

AB

AC

=

3

3

，
∴AC=

3

AB，
∴AC=

3

AD．
故答案为：AC=

3

AD．

点评：此题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，以及直角三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质．