Question

【题目】如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．

(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；

(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB长为5米（2）最大面积为

【解析】试题分析：

（1）由题意可知围成该花圃需要用到篱笆的宽有三条，而长只有一条，设宽AB的长为xm，则长BC为（24-3x）m，再设长方形面积为y，由矩形面积公式可得：y关于x的函数关系式，由y=45解得对应的x的值，可得答案；

（2）把（1）中所得解析式配方化为顶点式，然后结合自变量的取值范围可求得y的最大值，把最大值与45比较可得结论，并进一步可由自变量的取值范围和解析式求得最大面积；

试题解析：

(1)设花圃的宽AB＝x米，知BC应为(24－3x)米，故面积y与x的关系式为

y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x．

当y＝45时，－3x2＋24x＝45，解出x1＝3，x2＝5．

当x2＝3时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；

当x2＝5时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．

故AB长为5米．

(2)能围成面积比45m2更大的矩形花圃．

由(1)知，y＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，

∵，∴ ，

由抛物线y＝－3(x－4)2＋48知，在对称轴x=4的右侧，y随x的增大而减小，

∴当时，y＝－3（x－4)2＋48有最大值，且最大值为此时， BC＝10m，即围成长为10米，宽为米的矩形ABCD花圃时，其最大面积为