题目内容
(2012•西青区一模)已知∠AOB=45°,其内部一点P,OP=10,在∠AOB的边OA、OB上分别有点Q、R(P、Q、R三点不在同一直线上,Q、R不同于点O),则△PQR周长的最小值为
10
2 |
10
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分析:设点P关于OA的对称点是E,关于OB的对称点是F,当点R、Q在EF上时,△PQR的周长=PQ+QR+PR=EF,此时周长最小.
解答:解:如图,作出点P关于OA的对称点E,作出点P关于OB的对称点F,连接EF,交OA于Q,交OB于R.连接PQ,PR,PE,PF,OE,OF.
则PQ=EQ,PR=RF,
则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF.
∵∠AOP=∠AOE,∠POB=∠FOB,∠AOB=∠AOP+∠POB=45°,
∴∠EOF=90°,
又∵OE=OP,OF=OP,
∴OE=OF=10,即△EOF是等腰直角三角形,
∴EF=
OP=10
.
∴△PQR的周长的最小值为10
.
故答案为:10
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则PQ=EQ,PR=RF,
则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF.
∵∠AOP=∠AOE,∠POB=∠FOB,∠AOB=∠AOP+∠POB=45°,
∴∠EOF=90°,
又∵OE=OP,OF=OP,
∴OE=OF=10,即△EOF是等腰直角三角形,
∴EF=
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∴△PQR的周长的最小值为10
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故答案为:10
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点评:本题考查的是轴对称-最短路线问题及等腰直角三角形的判定和性质,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
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