Question

我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定A（0， ）的距离与它到定直线y= -的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线(p>0)，如图。
(1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y= -4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式。
(2)若(1)中求得的抛物线与一次函数相交于B、C两点，求△OBC的面积。
(3)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)根据定义可知：=4，p=8，  
故抛物线的解析式为= 16y
  
(2)画出简略示意图如图所示       
     ∴
分别过点B、C作BF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E
  则   
    
(3)存在    
理由：画简略示意图如图所示，  
设点P到直线y= -4的距离为d，
由抛物线的定义可知：PA =d，       
则PA+ PD=d+PD，    
∴过点D作直线y= -4的垂线段，与抛物线的交点即为P点
将x=1代入中，求得点直d    
P（1， ），    
∴抛物线上存在点P(1，去)，使得PA+ PD最短。