Question

（2013年四川眉山9分）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．

（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

Answer 1

解：（1）证明：∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC。
（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC。
∴FE：FC=1：3，∴。
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，∴，即：6x²=12，解得：x=。
∴CF=3。
在Rt△CFD中，。
∴BC=2DF=2。

（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定。
（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC。