Question

25、如图，已知菱形ADEF和等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=54°，点B、C分别在DE、EF．（B、C分别不与E、F重合）
（1）如图1，当AE平分∠BAC时，
①求证：BD=CF；
②当AD=AB时，求∠ABD的度数；
（2）如图2，当AE不平分∠BAC时，若△ADB是一个等腰三角形，求∠ABD的度数．

Answer 1

分析：（1）由AE平分∠BAC，AB=AC，AE=AE，易证△ABE≌△ACE，则BE=CE，又四边形ADEF是菱形，可得DE=EF，即可得证；
（2）过点A作AM⊥DE于点M，AN⊥EF于点N，由AE平分∠DEF得AM=AN，可证Rt△AMB≌Rt△ANC（HL），则∠MAB=∠NAC，∠MAN=∠BAC；根据等角的补角相等可得，∠D=∠MAN=∠BAC=54°，最后要分三种情况讨论求解：Ⅰ．当BD=BA时；Ⅱ．当AD=AB时；Ⅲ．因为DA不可能等于DB，所以第三种情况不存在．

解答：解：（1）①证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵AB=AC，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE（2分）
∴BE=CE，
∵四边形ADEF是菱形，
∴DE=EF
∴DB=CF（5分）
②当AD=AB时，设∠D=x°，得∠FAC=∠DAB=（180-2x）°（6分）
由AF∥DE得∴x+2（180-2x）+54=180
解得x=78∴∠ABD=78°（9分）

（2）过点A作AM⊥DE于点M，AN⊥EF于点N，由AE平分∠DEF得AM=AN，
又∵AB=AC
∴Rt△AMB≌Rt△ANC
∴∠MAB=∠NAC
∴∠MAN=∠BAC
又∵∠MAN+∠MEN=180°，∠D+∠MEN=180°
∴∠D=∠MAN=∠BAC=54°（11分）
若△ADB是一个等腰三角形，下面分三种情况讨论：
Ⅰ．当BD=BA时，得∠D=∠DAB=54°
解得∠ABD=72°（12分）
Ⅱ．当AD=AB时，得∠ABD=∠D=54°，
由∠BAC=54°得AC∥DE
∴AC与AF重合，这与AC与AF不重合矛盾
∴此种情况不存在．
Ⅲ．因为DA不可能等于DB，所以第三种情况不存在．
综上所述：当△ADB是一个等腰三角形时，∠ABD的度数等于72°（13分）

点评：本题主要考查菱形的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质，注意题意中的“△ADB是一个等腰三角形”，哪两条边是腰，应该分情况讨论．