题目内容
如图，射线OA⊥射线OB，半径r=2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA没有公共点），P是OA上的动点，且PM=3cm，设OP=xcm，OQ=ycm．（1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围；
（2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值；
（3）是否存在大于2的实数x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相应x的值，若不存在，请说明理由．
分析：（1）过点M作MD⊥OA，垂足为D，可以知道△MDP为直角三角形，DP=（x-2）cm，MD=ycm，勾股定理即可得出x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围；
（2）若△MOP为等腰三角形，①若OM=MP，则有OD=PD，此时x=2×2=4；②若MP=OP时，x=3；③若OM=OP时，OM=4+y2，结合（1）求出x的值；
（3）△MQO∽△OMP，因为∠Q=90°，∠OMP=90°，根据相似比及（1）的关系式求相应x的值．
（2）若△MOP为等腰三角形，①若OM=MP，则有OD=PD，此时x=2×2=4；②若MP=OP时，x=3；③若OM=OP时，OM=4+y2，结合（1）求出x的值；
（3）△MQO∽△OMP，因为∠Q=90°，∠OMP=90°，根据相似比及（1）的关系式求相应x的值．
解答：
解：（1）过点M作MD⊥OA，垂足为D，显然ODMQ为矩形，
∴OD=MQ=2，MD=OQ=y，
∴PD=x-2，
在Rt△MDP中，y2+（x-2）2=32，
∴x2-4x+y2=5，
当如图所示情况时，OD=2；
当⊙M与OA相切时，
可知OP=2+
，
∴x取值范围为0≤x＜2+
；
（2）①若OM=MP，此时x=4，
②若MP=OP时，此时x=3，
③若OM=OP时，
∵OM=4+y2，
∴4+y2=x2，
∴
，
解得x=
；
（3）∵△QMO∽△MOP，此时∠OMP=90°，则
=
=
，
∴
=
=
，
∴4+y2=2x，
∴
，
∴x=1+
＜2
，
∴存在这样的实数x，并且x=1+
．
解：（1）过点M作MD⊥OA，垂足为D，显然ODMQ为矩形，∴OD=MQ=2，MD=OQ=y，
∴PD=x-2，
在Rt△MDP中，y2+（x-2）2=32，
∴x2-4x+y2=5，
当如图所示情况时，OD=2；
当⊙M与OA相切时，
可知OP=2+
| 5 |
∴x取值范围为0≤x＜2+
| 5 |
（2）①若OM=MP，此时x=4，
②若MP=OP时，此时x=3，
③若OM=OP时，
∵OM=4+y2，
∴4+y2=x2，
∴
|
解得x=
2+
| ||
| 2 |
（3）∵△QMO∽△MOP，此时∠OMP=90°，则
| OQ |
| MP |
| OM |
| OP |
| MQ |
| OM |
∴
| y |
| 3 |
| ||
| x |
| 2 | ||
|
∴4+y2=2x，
∴
|
∴x=1+
| 10 |
| 5 |
∴存在这样的实数x，并且x=1+
| 10 |
点评：此题综合考查函数、方程与圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．此题是一个大综合题，难度较大．
练习册系列答案
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